Dualité de Kantorovich-Rubinstein pour la Hessienne et une application en design optimal.

par Guy Bouchitté (IMATH, Université de Toulon)

mardi 15 oct. 2024, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Fokko du Cloux (Bâtiment Braconnier, La Doua)

Le théorème classique de dualité de Kantorovich-Rubinstein établit un lien important entre le transport optimal de Monge et la maximisation d'une forme linéaire sur les fonctions 1-Lipschitz. Ce résultat a été largement utilisé dans divers domaines de recherche, notamment en mécanique du solide  pour établir une relation entre la théorie géométrique du transport de Monge et la forme de certaines structures en conception optimale.

Le but de cet exposé est de présenter une théorie similaire lorsque la forme linéaire est maximisée sur les fonctions réelles de classe $C^{1,1}$ dont la  norme spectrale de la  hessienne est plus petite que 1. Nous montrons que cette maximisation est en dualité avec un nouveau problème  de transport optimal à trois marginales où les  deux premières marginales sont fixées et où la troisième doit dominer les deux autres au sens de l'ordre convexe. L'existence de transports optimaux permet d'exprimer des solutions du problème de Beckman sous-jacent sous la forme d'une combinaison de mesures tensorielles de rang 1 supportées par un graphe. Dans le contexte  de  la mécanique, ce graphe détermine l'emplacement optimal d'un grillage constitué de poutres en flexion  soumis à un chargement donné.

 

En collaboration avec   Karol Bolbotowski,  Lagrange Mathematics and Computation Research Center, Paris