A tout groupe réductif G, il est possible d'associer une ind-variété, sa variété de drapeaux affines X, dont la géométrie est étroitement lié à la théorie des représentations de G et de son groupe de lacets G[t,t^{-1}]. Les polynômes R de Kazhdan-Lusztig permettent de décrire partiellement la structure de X en utilisant la combinatoire d'un groupe de Coxeter: le groupe de Weyl affine de G. Lorsque l'on essaie de remplacer G par un groupe de Kac-Moody non réductif, X peut toujours être défini mais n'a plus de topologie raisonnable, et sa structure est plus complexe. Il y a bien un analogue W^+ au groupe de Weyl affine, mais cet objet n'est plus qu'un semi-groupe, et n'a pas de structure de Coxeter. Cependant, en 2016 A. Braverman D. Kazhdan et M. Patnaik ont introduit une relation d'ordre sur W^+ qui pourrait jouer le rôle d'ordre de Bruhat. Depuis, certaines propriétés combinatoires importantes de ce semi-groupe ont été obtenues, et il semble désormais possible de définir des polynômes R de Kazhdan-Lusztig dans ce contexte. Cela a été initié en 2019 par D. Muthiah, et nous l'avons poursuivi avec A. Hébert en utilisant les masures jummelés introduites par N. Bardy-Panse, G. Rousseau et A. Hébert en 2022.
Dans mon exposé, après avoir introduit ces polynômes dans le cas réductif, je présenterais un modèle de chemin permettant de les définir dans le cas Kac-Moody.
