MERCREDI 20 NOVEMBRE
14h-16h : Blanche Buet -- Introduction aux varifolds partie 1
16h00-16h30 : pause café
16h30-17h20 : Jean-François Grosjean "Inégalité de Reilly sur des varifolds"
JEUDI 21 NOVEMBRE
09h00-11h00 : Blanche Buet -- Introduction aux varifolds partie 2
11h00-11h30 : pause café
11h30-12h20 : Camille Labourie "Introduction aux flagfolds et à leurs applications"
12h30-14h00 : déjeuner
14h00-14h50 : Michael Goldman "Strongly anisotropic free-discontinuity problems with curvature penalization"
14h55-15h45 : Benoit Merlet "Dérivation de l'énergie de Willmore à partir d'un modèle mécanique pour les membranes des vésicules biologiques."
15h45-16h15 : Pause Café
16h15-17h05 : Guy David "Existence de minimiseurs glissants dans un cas très particulier"
Résumés.
Blanche Buet, "Introduction aux varifolds"
Résumé: On se propose d'introduire la notion de varifold qui est une notion généralisée de surface/sous-variété bien adaptée au calcul des variations.
On commencera par donner beaucoup d'exemples de varifolds afin de se familiariser avec le concept. On s'attardera ensuite sur la notion de courbure généralisée d'un varifold, qu'on calculera pour des varifolds variés, plus ou moins réguliers. Le contrôle de cette courbure généralisée permet d'obtenir de la compacité dans une classe de varifolds dits "entiers" et de la régularité locale (entre C1 et C2) mais seulement dans un ouvert dense... On énoncera les théorèmes d'Allard en question.
Guy David, "Existence de minimiseurs glissants dans un cas très particulier",
Résumé: La notion de minimiseurs glissants est un bon cadre pour décrire les films de savon, mais son défaut le plus important est l'absence de théorème d'existence de minimiseurs en général, même pour des films de dimension 2. On essaiera de décrire une situation simple (frontière au bord d'un convexe, ou presque), où l'on peut obtenir des surfaces minimisantes. Curieusement même ainsi la démonstration est délicate.
Travail en cours avec C. Labourie.
Michael Goldman, "Strongly anisotropic free-discontinuity problems with curvature penalization",
Résumé: For anisotropic free-discontinuity problems, a necessary condition for the well-posedeness of the model is the convexity of the anisotropy. However, in some applications in fracture mechanics or for crystals, it is a priori more natural to consider anisotropies which are non-convex. To avoid the loss of semi-continuity it is then natural to regularize the model by a term penalizing the curvature. The aim of this talk is to describe the effect of this regularization and to study phase-field approximations of these energies. In particular, we extend the work of Röger and Schatzle to the case of a Mumford-Shah type functional with curvature. This is work in progress with J.F. Babadjian and B. Buet.
Camille Labourie, "Introduction aux flagfolds et à leurs applications",
Résumé: Le but de cet exposé est de présenter la notion de flagfold introduite par Blanche Buet et Xavier Pennec, ainsi que des travaux en cours en collaboration avec Blanche Buet.
Benoît Merlet, "Dérivation de l'énergie de Willmore à partir d'un modèle mécanique pour les membranes des vésicules biologiques",
Résumé: Les membranes bilipidiques sont le moyen universel utilisé par la vie pour organiser, séparer, isoler la matière. Il y a la membrane plasmique qui enferme le cytoplasme de chaque cellule mais aussi les parois de tous les organites dans le cytoplasme (noyau, réticulum endoplasmique, appareil de Golgi, , mitochondries, lysosomes et autres vésicules pour le transport et la sécrétion de protéines, ...).
Ces membranes existent en milieu aqueux et sont principalement formées de molécules lipidiques allongées ayant une "tête" hydrophile et une "queue" hydrophobe. La forme et la résistance à la déformation des membranes sont dues aux interactions de ces molécules entre elles et avec l'eau.
Pour modéliser une telle membrane, nous la représentons comme une "coque" formée par des fibres élastiques orientées de petites longueurs et qui traversent la coque : chaque fibre commence sur la face intérieure de la coque et se termine sur l'autre face. Nous associons à une configuration de fibres une énergie mécanique inspirée des mécanismes hydrophile / hydrophobe évoqués ci-dessus. Nous montrons que dans le régime des coques minces et d'énergie faible, l'énergie mécanique d'une coque de fibres Gamma-converge vers l'énergie de Willmore d'un varifold orienté.
Les outils mathématiques principaux de cette étude sont des estimations quantitatives associées à la propriété de rigidité suivante : "Une fonction harmonique ayant un gradient de norme constante est affine".
