La cascade des périmètres du modèle O(n) critique sur des quadrangulations uniformes

par Prof. Pascal MAILLARD (Univ. Paris-Sud)

jeudi 14 avr. 2016, 16:00 → 17:00 Europe/Paris

Centre de conférences Marilyn et James Simons (I.H.E.S.)

Je présenterai un travail en cours avec Linxiao Chen et Nicolas Curien. On s'intéresse aux périmètres des boucles du modèle O(n) critique sur une quadrangulation uniforme, n ∈ (0,2). Ces boucles sont naturellement munies d'une structure de branchement ; nous montrons que l'arbre des périmètres converge après renormalisation vers une cascade multiplicative dont la loi de reproduction ( x_i )_{i ≥1} est liée aux sauts d'un processus de Lévy α-stable avec α = 3/2 ± (1/π) arccos(n/2). La transformée de Mellin de cette cascade est donnée explicitement par

Un ingrédient important de la preuve est une nouvelle formule pour le premier moment d'une fonctionnelle additive des sauts d'une marche aléatoire continue à gauche sur les entiers, arrêtée à un temps d'atteinte.