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v3.2.9
Considérons l'ensemble des hyperplans orthogonaux aux racines d'un groupe de Weyl affine (son arrangement de Coxeter) et gardons seulement les hyperplans associées avec des racines de profondeur 0 et 1 : l'arrangement de Shi. Parmi les bonnes propriétés de l'arrangement de Shi, chacune de ses régions contient une unique alcôve de l'arrangement de Coxeter qui est, dans un sens, minimale. Cette alcôve est encodée par un vecteur d'entiers, son vecteur de Shi, satisfaisant certaines relations. Etant donnée une région de Shi, comment peut-on calculer le vecteur de Shi de son élément minimal ?
Dans cet exposé, on présentera une bijection entre les fonctions de parking au sens de [Armstrong, Reiner, Rhoades ’15] et les vecteurs de Shi des éléments minimaux de chaque région, dans le cas des groupes affines. Pour cela, on étudiera la structure des relations que satisfont les coefficients des vecteurs de Shi. Bien que cette bijection soit "type-free", on discutera sa spécialisation aux groupes de Weyl classiques où elle a une jolie interprétation combinatoire.