Contrôle et stabilisation d’équations aux dérivées partielles

2 avr. 2024, 12:00 → 4 avr. 2024, 14:00 Europe/Paris

Salle de conférences (2ème étage) (Institut Elie Cartan de Lorraine, Site de Nancy)

Rencontre scientifique à Nancy du 02 au 04 avril 2024, co-financée par le projet ANR TRECOS, l'IUF et l'équipe-projet SPHINX.

Les exposés auront lieu à l'Institut Elie Cartan de Lorraine, site de Nancy, dans la salle de conférences. 

mardi 2 avril

12:00 Déjeuner

1 Global L^p Carleman Estimates for the Laplace operator and applications

In this talk, I will present some recent results on L^p Carleman Estimates for the Laplace operator and its application to the quantification of the unique continuation with respect to lower order terms. Starting with the motivation, I will then briefly give some ideas of the proof, trying to avoid being too technical (except if I am asked for it !). This work has been obtained in collaboration with Belhassen Dehman and Lotfi Thabouti. If time allows, I will also explain how to get sharper results with respect to the first order terms by using Wolff’s theoretical results on measures in R^d (work in progress with Pedro Caro and Lotfi Thabouti).

Orateur: Sylvain Ervedoza

15:00 Pause café

2 Sur l'espace atteignable de quelques systèmes paraboliques

La problématique générale des espaces atteignables peut être résumée de la manière suivante: \textit{Pour un système contrôlé donné. Étant donné un état initial $u_i$ et un temps $T>0$, décrire l'espace $R(u_i,T)$ des états finaux $u_f$ que l'on peut atteindre à partir de $u_i$ au temps $T$}. Déterminer l'espace atteignable $R(u_i,T)$ des systèmes contrôlés est l'un des principaux problèmes de la théorie du contrôle. Donner une caractérisation précise des états qui peuvent être atteints en un certain temps (T > 0) est une question encore largement ouverte: même pour l'équation de la chaleur à coefficients constants en une dimension et contrôlée depuis la frontière, la caractérisation complète de l'espace atteignable, en termes d'espaces de Bergman, n'a été obtenue que très récemment. Basé sur une travail en commun avec Sylvain Ervedoza, je présenterai des résultats sur l’espace atteignable pour le système de Stokes où de nouvelles difficultés apparaissent liées à la non-localité de la pression et à la propagation de la condition de divergence nulle. Puis, si le temps le permet, je parlerai dans un context plus générale du cas de l’équation de la chaleur avec des perturbations ou des nonlinéarités en dimension $d\geq 1.

Orateur: Adrien Tendani-Soler

3 Small-time controllability of bilinear Schrödinger and wave equations

This talk is devoted to some recent results concerning the small-time global approximate controllability of bilinear Schrödinger and wave equations, posed on boundaryless manifolds such as tori or euclidean spaces. The analysis of such bilinear systems is classical, and several results of global approximate controllability in large times are available. The main novelty of these recent results is thus in the possibility of controlling such systems in arbitrarily small times. We will also discuss the ideas behind the control strategies, inspired by geometric control techniques of Lie brackets. More precisely, large controls on short time intervals are used in order to displace the systems along non-directly accessible directions.

Orateur: Eugenio Pozzoli

mercredi 3 avril

4 Un pas vers la méthode des moments en dimension d ≥ 1

Orateur: Assia Benabdallah

Abstract_Benabdallah_ANR_Trecos_Nancy_24.pdf

10:30 Pause Café

5 Contrôlabilité locale en temps petit (STLC) de l’équation de Schrödinger bilinéaire à deux contrôles, grâce à un terme quadratique

Je commencerai par présenter une nouvelle démonstration d’un résultat connu sur la contrôlabilité des systèmes affines à deux contrôles (contenu dans la condition S(theta) de Sussman). Cette preuve, basée sur une formule (inspirée de Magnus) de représentation de la solution d’une EDO est mieux préparée pour être adaptée aux EDP, et permet un accès plus direct aux crochets de Lie. Dans un second temps, je m’intéresserai à l’équation de Schrödinger bilinéaire à deux contrôles, et je prouverai un nouveau résultat positif de contrôlabilité locale autour d’un équilibre. Je me placerai dans le cadre suivant : le linéarisé perd une direction, que l’on retrouve à l’aide du terme quadratique. Pour cela, on effectue des manipulations sur l’expression de la solution afin de faire apparaître les crochets de Lie qui favorisent le mouvement dans la direction perdue. Cet exposé est issu d’un travail commun avec Karine Beauchard.

Orateur: Théo Gherdaoui

6 Un résultat de contrôlabilité interne pour une classe de systèmes d'ondes couplées

Orateur: Pierre Lissy

abstract.pdf

12:45 Déjeuner

7 Qu'est-ce qu'un système de contrôle affine ?

Habituellement, on pense à un système de contrôle affine comme étant caractérisé par les champs de vecteurs (supposés analytiques) qui régissent sa dynamique.
Cependant, cette façon de le décrire est redondante, puisqu'elle dépend par exemple du système de coordonnées choisi pour décrire l'état du système, alors que les notions de contrôlabilité que l'on souhaite étudier sont invariantes par changement de coordonnées.
Dans un travail en commun avec Karine Beauchard et Jérémy Le Borgne (qui s'appuie sur des résultats géométriques des années 1960), nous donnons une caractérisation algébrique, naturellement invariante par changements de coordonnées, des systèmes affines analytiques.

Orateur: Frédéric Marbach

15:30 Pause café

8 Contrôlabilité des systèmes semi-linéaires pour les poutres

Je commencerai par considérer les systèmes semi-linéaires unidimensionnels pour les poutres et j'ai l'intention d'analyser comment leurs propriétés de contrôlabilité dépendent du module du coefficient d'élasticité k. En particulier dans ma présentation je prouverai que la propriété de contrôlabilité exacte du système avec conditions limites de Kirchhoff peut être obtenue comme limite singulière, lorsque k → +∞, de la contrôlabilité des projections sur un sous-espace de solutions.

Orateur: Pammella Queiro

9 Discussions

20:00 Dîner de la rencontre

jeudi 4 avril

10 Bilinear Control of a Degenerate Wave Equation

In this talk I will present a result of bilinear local controllability in finite time along the ground state for a degenerate wave equation. We proved that there exists a threshold time such that for a classical result of local controllability along the ground state can be achieved. For , we showed that the reachable set from the ground state is contained in a -submanifold of infinite codimension. For and strong degeneracy, a classical result of local controllability can be proved, except for a countable set of values of the degeneracy parameter. Finally, for and weak degeneracy, the reachable set is a -submanifold of codimension . The strategy of the proof consists in the resolution of a moment problem coupled with an inverse mapping theorem. However, because of the degeneracy of our operator, new difficulties arose. Indeed, while for it sufficed to apply Ingham theory to solve the moment problem, for we needed to extend the Kadec Theorem and finally, for , we combined general results on non-minimal families of exponentials with density properties of the eigenvalues of our degenerate operator.

The results presented in the talk are contained in the work: P. Cannarsa, P. Martinez, C. Urbani "Bilinear control of a degenerate hyperbolic equation", SIAM J. of Mathematical Analysis, vol. 55, n. 6, pages 6517 - 6553 (2023)

Orateur: Cristina Urbani

10:00 Pause café

11 Flatness approach for the boundary controllability of a system of heat equations

Orateur: Blaise Colle

abstract_blaise_colle.pdf

12 Global stabilization of the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation on the torus

In this talk, I will focus on the stabilization of defocusing
nonlinear Schrödinger equations on manifolds, arising naturally as
models of wave propagation in fiber optics. I will first recall local
and semi-global results that have been obtained since the beginning of
the 2000's. Then, I will introduce a method that I have developed in
collaboration with Jérémy Martin to prove the (uniform) global
stabilization of the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation on
the d-dimensional torus, d=1, 2 or 3.

Orateur: Kevin Le Balc'h

12:00 Déjeuner