Quelques problèmes de minimisation en lien avec les équations de Schrödinger non-linéaires

par M. Anthony Mur (Institut de Mathématiques de Toulouse)

vendredi 22 déc. 2023, 11:00 → 13:00 Europe/Paris

Salle Katherine Johnson, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Dans cette thèse, on étudie quelques problèmes de minimisation issus de la théorie des équations aux dérivées partielles.

On considère les estimations de Strichartz associées à l'équation de Schrödinger avec des puissances fractionnaires du Laplacien dans l'espace euclidien. On montre l’existence des fonctions optimales pour ces inégalités pour toutes les valeurs possibles des paramètres. La preuve utilise un théorème général de décomposition de profils.

Dans la deuxième partie de la thèse, on considère des équations de Schrödinger non linéaires avec des conditions non nulles à l'infini et périodiques dans une variable dans l'espace euclidien bidimensionnel. On travaille avec des non-linéarités générales. Tous nos résultats sont valables dans le cas modèle de l'équation de Gross-Pitaevskii. Les équations étudiées sont hamiltoniennes, les quantités conservées sont l'énergie et le moment. On donne  d'abord une définition mathématique rigoureuse du moment. On montre ensuite que pour toute valeur possible $p$ du moment il existe des fonctions qui minimisent l'énergie lorsque la valeur du moment est fixée et est égale à $p$. Ces fonctions sont lisses et sont des ondes progressives de l'équation. Leurs vitesses sont les multiplicateurs de Lagrange associés au problème de minimisation. On montre que pour chaque $p$ fixé il existe une valeur critique de la période $ \lambda (p)$ telle  que tous les minimiseurs avec une période inférieure à $ \lambda (p)$ doivent être unidimensionnels, et que les minimiseurs avec des périodes supérieures à $ \lambda (p)$ dépendent effectivement des deux variables spatiales. On étudie également le problème unidimensionnel correspondant et on trouve toutes les ondes progressives d’énergie finie. Dans certains cas (comme, par exemple, dans le cas de l'équation de Gross-Pitaevskii), les minimiseurs de l'énergie à moment constant constituent l'ensemble des ondes progressives. On construit des exemples de non-linéarités lisses pour lesquelles l'équation admet des ondes progressives qui ne sont pas des minimiseurs.