Séminaire d'Analyse

Limites par explosion et propriété d’uniforme concentration pour les minimiseurs de Griffith

by Camille Labourie (Paris Saclay)

Europe/Paris
Amphi Schwartz

Amphi Schwartz

Description

La fonctionnelle de Griffith a été introduite par Francfort et Marigo pour modéliser les états d’équilibre d’une fracture dans le cadre de l’élasticité linéaire. Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb R^N$, qui représente la configuration de référence (sans fracture) d’un solide. On applique une déformation (constante au cours du temps) à sa frontière et on suppose que le solide subit seulement des déformations infinitésimales. Francfort et Marigo définissent un état d’équilibre comme un minimiseur de la fonctionnelle 
\begin{equation*}
\mathcal G(u,K):=\int_{\Omega\setminus K} |e(u)|^2 dx 
+\mathcal H^{N-1}(K),
\end{equation*}
parmi les paires $(u, K)$  telles que $K$ est un sous-ensemble $(N − 1)$-dimensionnel de $\Omega$ (la fracture), $u \colon\Omega\setminus K\to\mathbb R^N$ est une fonction lisse (un champ de déplacement) qui satisfait une condition de Dirichlet à la frontière $\partial\Omega$, et la matrice $e(u) := (Du + Du^T )/2$ est la partie symétrique du gradient de $u$. L’étude des limites par explosion (blow-up) est au cœur de la description locale des fractures. Le but de cet exposé est de présenter un récent travail en collaboration avec A. Lemenant où on démontre que les limites par explosion en distance de Hausdorff sont des minimiseurs globaux et on classifie les minimiseurs globaux homogènes en dimension 2. À cette fin, on a développé une nouvelle approche pour démontrer la propriété de concentration uniforme de Dal Maso, Morel et Solimini dans le cas vectoriel.