Étude des composantes de stabilité pour les familles holomorphes d'endomorphismes des espaces projectifs complexes

par M. Maxence Brévard (Institut de Mathématiques de Toulouse)

lundi 4 déc. 2023, 10:00 → 13:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Dans cette thèse, nous contribuons au développement de la théorie de la stabilité dynamique au sens de Berteloot-Bianchi-Dupont pour les familles holomorphes d’endomorphismes des espaces projectifs complexes. Dans un premier temps, nous établissons une nouvelle caractérisation de la stabilité dynamique portant sur le courant de ramification introduit par Dinh-Sibony en exploitant la théorie du pluripotentiel. Cela nous permet à la fois de simplifier l’approche originale et de mieux comprendre la stabilité dynamique en termes de normalité post-critique.

Dans un deuxième temps, nous étudions la propagation de certaines propriétés statistiques au sein d'une famille stable. En particulier, nous utilisons la notion de $\nu$-tissu de Bianchi-Rakhimov pour propager les états d’équilibre, qui constituent une classe importante de mesures ergodiques apparaissant dans le formalisme thermodynamique. Nous établissons également un résultat d’équidistribution des cycles répulsifs avec poids pour les $\nu$-tissus dans l’espace des graphes.

Dans un troisième temps, nous nous intéressons à la dynamique aléatoire des applications d’allure polynomiale. Nous construisons les mesures stationnaires introduites pour les endomorphismes par Fornaess-Weickert. Nous démontrons ensuite l’existence d'un courant positif fermé horizontal dont les tranches sont exactement les mesures stationnaires. La construction de ce type de courants est l’une des premières étapes pour attaquer des questions de stabilité dynamique dans ce contexte.