Un $e$-cœur est une partition d'un entier dont le diagramme de Young ne possède pas d'équerre de taille $e$. L'étude des $e$-cœurs est un thème récurrent en combinatoire algébrique depuis la fameuse conjecture de Nakayama (prouvée par Brauer et Robinson en 1947), qui affirme que les
$e$-cœurs paramètrent les blocs du groupe symétrique en caractéristique $e$. Depuis, plusieurs problèmes d'énumération sur les $e$-cœurs ont donné des résultats remarquables, à l'interface de l'algèbre, des probabilités et de la théorie des nombres, comme le théorème de Granville et Ono de 1996 sur l'existence de cœurs de taille arbitraire (et les propriétés arithmétiques des séries génératrices correspondantes), ou celui d'Anderson de 2002 sur le nombre de cœurs simultanés (il est fini et donné par le nombre de Catalan rationnel correspondant).
Dans cet exposé, j'expliquerai comment la construction des $e$-cœurs par la géométrie d'alcôves de type $A_{e-1}$ affine (due à Lascoux) permet de généraliser la définition des cœurs aux autres types Dynkin (finis ou affines). De plus, nous construirons une statistique sur le groupe de Weyl correspondant, appelée longueur atomique, qui généralise la notion de taille d'un cœur à tous les types, et dont un cas particulier permet de retrouver les formules établies par Garvan, Kim et Stanton (en 1990 pour les cœurs usuels) et Stucky, Thiel et Williams (en 2023 pour des généralisations affines).
Finalement, j'évoquerai des constructions combinatoires explicites pour ces cœurs généralisés, ainsi qu'une application à la recherche des solutions de certaines équations diophantiennes de type Pell-Fermat. Il s'agit de travaux en commun avec Olivier Brunat (Paris) et Nathan Chapelier-Laget (Sydney).
