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Cette thèse porte sur l'étude des méthodes PIC avec reconstructions sur grilles parcimonieuses. Ces méthodes permettent de réduire significativement les coûts en mémoire et les coûts de calcul des méthodes PIC. En effet, malgré leur simplicité, leur facilité de parallélisation sur plusieurs nœuds de calcul et leur robustesse, les schémas PIC présentent un inconvénient majeur, à savoir l'erreur statistique associée au bruit des particules, qui dépend du nombre moyen de particules par cellule et conduit à une complexité qui croît exponentiellement avec la dimension du problème.
L'utilisation de grilles sparse dans les méthodes PIC, par le biais de la technique dite de combinaison où une fonction est approximée sur différentes grilles plus grossières, permet de réduire le bruit des particules, grâce aux cellules plus grandes des grilles, et donc de réduire les temps d'exécution élevés de la simulation.
Dans le chapitre 2, des résultats principaux sont fournis sur la convergence de l'interpolant sparse grid en fonction de la discrétisation en espace et sur les propriétés de conservation de la méthode. En outre, des reconstructions sparse grid adaptées, dans le cadre de la technique de combinaison offset, sont proposées pour introduire des méthodes PIC avec une efficacité améliorée.
Le chapitre 3 est consacré à l'introduction de nouvelles stratégies de parallélisation spécifiques aux architectures à mémoire partagée et adaptées aux méthodes PIC implémentant des reconstructions de grilles parcimonieuses. Ces stratégies exploitent les différents parallélismes propres aux méthodes Sparse-PIC afin d'obtenir une augmentation de vitesse supérieure à 100 sur 128 cœurs. En outre, des gains substantiels (deux ordres de grandeur) sont introduits pour les calculs séquentiels et parallèles du champ électrique grâce à la procédure de hiérarchisation. Elle consiste à décomposer l'information portée par les grilles parcimonieuses sur des fonctions de base hiérarchiques, ce qui permet de réduire considérablement le nombre d'opérations. Le chapitre 4 propose une mise en œuvre efficace des méthodes PIC pour GPU. La parallélisation, qui met en œuvre de nouvelles stratégies spécifiques aux méthodes PIC sparse et adaptées aux architectures GPU, permet d'obtenir des gains de vitesse par rapport à une exécution séquentielle sur un processeur de la même génération que le GPU. Ces gains de vitesse peuvent atteindre 100 sur un seul GPU Tesla V100, par rapport à une exécution séquentielle sur une unité de traitement informatique (CPU) ; et une réduction de quatre ordres de grandeur du temps de calcul par rapport à une simulation PIC séquentielle standard sur un CPU. Enfin le chapitre 5 concerne des travaux en cours et propose un nouveau schéma semi-implicite conservant l'énergie basé sur une discrétisation électrostatique Particle-In-Cell (PIC) du système Vlasov-Ampère (VA). La méthode est inspirée de la méthode semi-implicite de Lapenta (ECSIM). La nouveauté est la dérivation d'une approche électrostatique semi-implicite multidimensionnelle d'une formulation de Vlasov-Ampère, intégrant des techniques de reconstruction sur grilles parcimonieuses. L'objectif étant d'une part de bénéficier des avantages de la méthode de Lapenta, i.e conservation exacte de l'énergie pour n'importe quel pas de temps ou discrétisation de grille ; élimination l'instabilité de grille finie; etc. D'autre part, les reconstructions sparse grid permettent de réduire considérablement l'empreinte mémoire en diminuant drastiquement le nombre de particules pour une erreur statistique équivalente.