Algorithmes OM et Cluster Pictures

par Tristan Vaccon

jeudi 12 juin 2025, 10:45 → 11:45 Europe/Paris

XR203 (XLIM)

Soit (K,v) un corps valué et f un polynôme de K[x].

La cluster picture de f est un objet géométrique qui regroupe toute l'information sur les positions relatives des racines de f dans la clôture algébrique de K.

Beaucoup de problèmes algorithmiques en géométrie arithmétique peuvent être simplifiés dès lors qu'on connait la cluster picture du polynôme mis en jeu (calcul d'un modèle semi-stable, calcul du régulateur, etc...).

 

Les algorithmes OM (d'après Ore, Mac Lane, Okutsu, Montes) sont une famille d'algorithmes de factorisation de polynômes dans K[x] fondés sur la constructions de chaînes de valuations augmentées étendant v à K[x].

 

Dans ce travail commun avec Adrien Poteaux et Martin Weimann, nous montrons que les algorithmes OM permettent de calculer les clusters pictures (dans le cas "modérément ramifié").

Ceci nous a permis d'obtenir le premier résultat de complexité sur le calcul des cluster pictures.
Nous montrons aussi que l'on peut obtenir le squelette de Berkovich des racines d'un polynôme au même coût.