Problèmes de cibles rétrécissantes sur des fractals avec chevauchement et approximation diophanitiene intinsèque

par M. Édouard Daviaud (Université de Liège)

mardi 20 janv. 2026, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Salle de séminaire (Orléans institut Denis Poisson)

La notion de qualité d’approximation d’un réel $x$ par des rationnels a été introduite par les travaux de Dirichlet à la fin du XIX$^{\tiny e}$ siècle. Il s’agit de déterminer le meilleur exposant $\delta \ge 2$ (l’exposant limite $2$ étant donné par le théorème de Dirichlet) tel qu’il existe une infinité de fractions réduites $\frac{p}{q}$ vérifiant
$$
\left|x - \frac{p}{q}\right| \le \frac{1}{q^\delta}.
$$

L’étude de la taille des ensembles de réels approchables à une vitesse donnée a depuis connu de nombreux développements.

Récemment, en combinant le théorème de Koukoulopoulos-Maynard [5], résolvant la conjecture de Duffin-Schaeffer, et le principe de transfert de masse de Jaffard [4] ou de Beresnevich-Velani [2], on obtient que, pour toute fonction $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+$,
$$
\dim_H\Bigl\{
x \in \mathbb{R} :
\left|x - \frac{p}{q}\right| \le \psi(q)
\ \text{p.u.i. } p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{N},\ p \wedge q = 1
\Bigr\}
= \min\{1,s_\psi\},
$$
où « p.u.i. » signifie pour une infinité et où
$$
s_\psi = \inf\left\{
s \ge 0 :
\sum_{q \ge 1} \varphi(q)\,\psi(q)^s < +\infty
\right\},
$$
la fonction $\varphi$ désignant la fonction indicatrice d’Euler.

Un autre problème d’approximation par des rationnels, connexe à celui-ci, concerne l’approximation d’éléments d’un fractal auto-similaire de  $\mathbb{R}$ par des nombres rationnels, soit arbitraires, soit contenus dans le fractal considéré. Ce sujet a suscité beaucoup d’intérêt.

Concernant le premier problème, il a été récemment démontré par Bénard, He et Zhang que, pour toute mesure auto-similaire $\mu$
et toute fonction décroissante $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+$,
$$
\mu\Bigl(
\bigl\{
x \in \mathrm{supp}(\mu) :
\left|x - \frac{p}{q}\right| \le \psi(q)
\ \text{p.u.i. } p,q
\bigr\}
\Bigr)
=
\begin{cases}
1 & \text{si } \sum_{q \ge 1} q \psi(q) = +\infty,\\[0.2cm]
0 & \text{si } \sum_{q \ge 1} q \psi(q) < +\infty.
\end{cases}
$$

Concernant le problème de l’approximation d’éléments d’un fractal par des rationnels contenus dans ce fractal, Fishman et Simmons [3] ont introduit la notion de hauteur intrinsèque $h_{\mathcal{R}}(r) \in \mathbb{N}$ d’un rationnel $r = \frac{p}{q}$. Il s’agit d’écrire $r = \frac{p}{q}$ pour un entier $q = h_{\mathcal{R}}(r)$ bien choisi, sans imposer a priori que $p \wedge q = 1$.

La théorie de l’approximation intrinsèque a été largement étudiée. En particulier, Tan, Wang et Wu [6] ont étudié le cas de l’approximation intrinsèque dans le Cantor triadique, et Baker [1] a donné des conditions pour que des ensembles de points intrinsèquement approchables à une certaine vitesse soient de mesure auto-similaire pleine. Fixons $q_1,\dots,q_m \in \mathbb{N}$,
$p_1,\dots,p_m \in \mathbb{Z}$, et posons

$$
\mathcal{T}
=
\left\{
f_i(x) = \frac{1}{q_i}x + \frac{p_i}{q_i}
\right\}.
$$
On note $K_{\mathcal{T}}$ l’attracteur de $\mathcal{T}$.

Dans cet exposé, nous démontrons que pour toute fonction décroissante $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+$,
$$
\dim_H\Bigl\{
x \in K_{\mathcal{T}} :
|x - r| \le \psi(h_{\mathrm{int}}(r))
\ \text{p.u.i. } r \in \mathbb{Q} \cap K_{\mathcal{T}}
\Bigr\}
=
\frac{\dim_H K_{\mathcal{T}}}{
\max\left\{
1,\,
\liminf_{q \to +\infty}
\frac{-\log \psi(q)}{q}
\right\}
}.
$$

Ce résultat découle de résultats plus généraux concernant les problèmes de cibles rétrécissantes associés aux fractals présentant des chevauchements.

Références

[1] S.Baker,
Intrinsic Diophantine approximation for overlapping iterated function systems,
submitted, 2022.

[2] V. Beresnevich and S. Velani,
A mass transference principle and the Duffin--Schaeffer conjecture for Hausdorff measures,
Ann. Math. 164 (2006).

[3] S. Fishman and D. Simmons,
Intrinsic approximation for fractals defined by rational iterated function systems,
Proc. London Math. Soc. 109 (2014).

[4] S. Jaffard,
Construction de fonctions multifractales ayant un spectre de singularit&és prescrit,
C.R. Acad. Sci. Paris 315 (1992).

[5] D. Koukoulopoulos and J. Maynard,
On the Duffin--Schaeffer conjecture,
Ann. Math. 192 (2020).

[6] B. Tan, B. Wang, and J. Wu,
Mahler's question for intrinsic Diophantine approximation on the triadic Cantor set,
Math. Z. (2021).