Pavao Mardesic - Noetherianité et longueur des fonctions de Melnikov

mardi 10 mars 2026, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

435 (UMPA)

Je présenterai un travail récent en collaboration avec D. Novikov, L. Ortiz-Bobadilla et J. Pontigo-Herrera. 

 

Nous étudions des feuilletages dans le plan complexe donnés par des déformations polynomiales de la forme

 

$dH+\epsilon \eta=0$, 

 

avec $\gamma(t)\subset H^{-1}(t)$ une famille de cycles. 

L'application de premier retour de Poincaré lelong $\gamma$ est de la forme

 

$P(t)=t+\sum_j \epsilon^j M_j^\gamma(t)$.

 

 Les fonctions $M_j$, communement appelées fonctions de Melnikov, sont données par des intégrales itérées de longueur au plus $j$. 

Cette longueur caracterise la complexité des fonctions de Melnikov. 

 

Nous montrons que, pour tout nombre naturel $k$, il existe un indice $n_{H,\gamma}(k)$,  que nous appelerons  indice universel de Noether, indépendant de la déformation $\eta$, tel que, si $M_j^\gamma=0$, pour $j=1,...,n_{H,\gamma}(k)$, alors $M_j^\gamma$ est de longueur $j-k$, pour tout $j$. 

 

Pour démontrer ce théorème, nous developpons un théorème de structure pour les fonctions de Melnikov et utilisons le théorème de Ritt-Raudenbush pour les algèbres différentielles. 

Nous calculons cet indice de Noether $n_{H,\gamma}(k)$ dans différents cas non-triviaux. 

 

Le problème étudié s'inscrit dans l'étude du 16-ème problème d'Hilbert et l'étude du problème de centre de Poincaré et leur versions infinitésimales.