- Sur une variété projective complexe, la mesure canonique est définie à l’aide d’une base orthonormée des sections globales du fibré canonique. En dimension un, c'est-à-dire sur une surface de Riemann, elle coïncide avec la mesure de Bergman-Arakelov.
Il y a précisément 30 ans, Shou-Wu Zhang a défini l’analogue des mesures de Bergman-Arakelov pour les courbes non-archimédiennes.
Depuis lors, la question de la définition des mesures canoniques pour les variétés non-archimédiennes de dimension supérieure est restée presque totalement ouverte.
Dans cet exposé, je donnerai un aperçu des résultats que nous avons obtenus avec N. Nicolussi autour des mesures canoniques :
- Je parlerai de notre compactification multi-échelle et hybride de l'espace de modules M_g des surfaces de Riemann de genre g, qui raffine celle de Deligne-Mumford et dont les points correspondent aux surfaces de Riemann hybrides multi-échelles. J'expliquerai comment associer une mesure canonique à une surface de Riemann hybride. Notre théorème principal établit alors la continuité de la variation des mesures canoniques au-dessus de cette compactification hybride. Nous en déduisons que les mesures de Zhang et leurs variantes hybrides et multi-échelles sont précisément toutes les limites possibles de mesures de Bergman-Arakelov dans les familles multi-paramétrées de surfaces de Riemann.
- Je définis ensuite les mesures canoniques pour les variétés non-archimédiennes de dimension quelconque, apportant ainsi une réponse complète à la question ouverte mentionnée ci-dessus. J'expliquerai notamment comment ces mesures apparaissent comme limites des mesures canoniques dans des familles à un paramètre de variétés projectives complexes. Comme dans le cas de dimension un, cela conduit en particulier à la définition des mesures canoniques associées aux complexes polyédraux de dimension quelconque.
