Les théorèmes d'Ax Schanuel sont des énoncés portant sur la clôture de Zariski d'une courbe formelle tracée sur une feuille d'un feuilletage d'une variété algébrique.
Un premier énoncé concerne la fonction exponentielle :
Thm(Ax) : Pour t_1, ... t_n dans C[[s]]-C, si deg.tr._C C( t_1, ..., t_n , exp(t_1), ... exp(t_n)) < 1+n alors une combinaison linéaire sur Z des t_i est constante
Un second porte sur la fonction modulaire j :
Thm(Pila-Tsimerman) : Pour t_1, ... t_n dans C[[s]]-C, si deg.tr._C C( t_1, ..., t_n , j(t_1), ... j(t_n), \ldots j''(t_n)/C < 1+3n alors il existe k<l et h une homographie dans PGL_2(Q) tels que t_k = h(t_l).
J'expliquerai comment ces théorèmes peuvent être obtenus à partir d'un résultat général sur les connexions principales qui s'applique en particulier aux développantes de (G,X)-structures sur des variétés algébriques.
Travail en collaboration avec D. Blazquez Sanz, J. Freitag et R. Nagloo : https://arxiv.org/abs/2102.03384
