Etude de modèles macroscopiques de réseaux de neurones spatialement organisés

par M. Joachim Crevat (Institut de Mathématiques de Toulouse)

vendredi 3 juil. 2020, 14:00 → 17:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Dans cette thèse, nous étudions un réseau neuronal spatialement organisé, c’est-à-dire que les interactions entre deux neurones ne dépendent que de leurs positions. Si nous ne considérons qu’un nombre relativement restreint de cellules, l’activité électrique de chaque neurone peut être modélisée grâce au système de FitzHugh-Nagumo. Toutefois, si nous cherchons à étudier le comportement collectif d’un groupe de neurones plus nombreux, il devient essentiel de trouver d’autres modèles, correspondant à une échelle d’observation plus grande. L’objectif de cette thèse est donc d’établir un lien mathématique rigoureux entre le modèle microscopique de FitzHugh-Nagumo, et des modèles macroscopiques qui donnent l’évolution des quantités électriques moyennes à chaque position dans le réseau. La première étape de notre stratégie consiste à établir un lien rigoureux entre le modèle microscopique et un modèle intermédiaire, en faisant tendre le nombre de neurones vers l’infini. Nous obtenons une équation à dérivées partielles qui donne l’évolution de la densité de probabilité de trouver des neurones à chaque instant en fonction de leur position et de leur potentiel de membrane. Elle décrit alors une échelle mésoscopique d’observation du réseau. Ensuite, nous étudions les valeurs électriques moyennes calculées à partir du modèle mésoscopique. Afin de trouver un système d’équations satisfait par ces quantités macroscopiques, nous considérons le cas où les interactions locales entre neurones sont fortes. Pour cela, nous pro- posons deux redimensionnements possibles. En utilisant une méthode d’entropie relative, nous établissons un lien mathématique entre le modèle intermédiaire et un système de réaction-diffusion. Le terme de diffusion sera local ou non local en espace, selon le redimensionnement que nous aurons choisi. Enfin, nous attaquons l’étude de ce dernier changement d’échelle du point de vue de l’analyse numérique. En particulier, nous présentons une discrétisation du modèle mésoscopique qui préserve l’asymptotique dans le régime des interactions locales fortes. Ainsi, nous sommes capables d’estimer des vitesses de convergence et d’observer des dynamiques du modèle intermédiaire.