Boundary controllability of some coupled parabolic systems with Robin or Kirchhoff conditions

par M. Kuntal Bhandari (Institut de Mathématiques de Toulouse)

mardi 22 sept. 2020, 14:00 → 17:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Dans cette thèse, on étudie la contrôlabilité à zéro par le bord de quelques systèmes paraboliques linéaires couplés par des termes de couplage intérieur et/ou au bord. Le premier chapitre est une introduction à l'ensemble du manuscrit. Dans le deuxième chapitre, on rappelle les principaux concepts et résultats autour des notions de contrôlabilité qui seront utilisés dans la suite. Dans le troisième chapitre, on étudie principalement la contrôlabilité par le bord d'un système couplé 2x2 de type cascade avec des conditions au bord de Robin. En particulier, on prouve que les contrôles associés satisfont des bornes uniformes par rapport aux paramètres de Robin et convergent vers un contrôle de Dirichlet lorsque les paramètres de Robin tendent vers l'infini. Cette étude fournit une justification, dans le contexte du contrôle, de la méthode de pénalisation qui est couramment utilisée pour prendre en compte des données de Dirichlet peu régulières en pratique. Dans le quatrième et dernier chapitre, on étudie d'abord la contrôlabilité à zéro d'un système 2x2 en dimension 1 contenant des termes de couplage à la fois à l'intérieur et au bord du domaine. Plus précisément, on considère une condition de type Kirchhoff sur l'un des bords du domaine et un contrôle de Dirichlet sur l'autre bord, dans l'une ou l'autre des équations. En particulier, on montre que les propriétés de contrôle du système diffèrent selon que le contrôle agisse sur la première ou sur la seconde équation, et selon les valeurs du coefficient de couplage intérieur et du paramètre de Kirchhoff. On étudie ensuite un modèle 3x3 avec un ou deux contrôle(s) aux limites de Dirichlet à une extrémité et une condition de type Kirchhoff à l'autre extrémité ; ici la troisième équation est couplée (couplage intérieur) avec la première. Dans ce cas, on obtient ce qui suit : en considérant le contrôle sur la première équation, on a contrôlabilité conditionnelle dépendant des choix du coefficient de couplage intérieur et du paramètre de Kirchhoff, et en considérant le contrôle sur la deuxième équation, on obtient toujours une contrôlabilité positive. En revanche, considérer un contrôle sur la troisième équation conduit à un résultat de contrôlabilité négative. Dans cette situation, on a besoin de deux contrôles aux limites sur deux des trois équations pour retrouver la contrôlabilité. Enfin, on expose quelques études numériques basées sur l'approche pénalisée HUM pour illustrer les résultats théoriques, ainsi que pour tester d'autres exemples.