Limite de diffusion pour l'équation d'agrégation

par Sébastien Tran Tien

mardi 28 févr. 2023, 16:30 → 17:15 Europe/Paris

Fokko Du Cloux (Bâtiment Braconnier, La Doua)

Les équations d'agrégation-diffusion interviennent en biologie notamment dans la modélisation de mouvement collectifs d'individus en interaction via un potentiel W. En l'absence de diffusion et lorsque W est singulier, les solutions faibles explosent en temps fini et la continuation de ces solutions, qui peuvent être alors des mesures singulières, requiert une définition adéquate du champ de vitesse. Je parlerai d'un travail en commun avec Frédéric Lagoutière et Filippo Santambrogio sur l'asymptotique des solutions lorsque le paramètre de diffusion tend vers 0. Nous verrons que leur convergence vers la solution du problème non visqueux peut être obtenue pour donnée bien posée lorsque W est Lipschitzien et pour donnée quelconque lorsque W est lambda-convexe. Ce dernier résultat peut être étendu à une certaine classe de potentiels répulsifs. Lorsque W est singulier on retrouve, à la limite de diffusion, la bonne définition du champ de vitesses. On peut d'ailleurs obtenir, dans le cas lambda-convexe, des estimations de convergence en dérivant la distance de Wasserstein le long des solutions. Pour finir, je parlerai du taux de convergence des états stationnaires de l'équation diffusive vers le Dirac, sous des hypothèses un peu plus fortes sur W.