La Conjecture ``16 $\pi$ '' sur le retournement de la sphère

par Prof. Tristan Rivière (ETH Zürich)

vendredi 12 mai 2023, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz (Bâtiment 1R3, Université Paul Sabatier)

Les interactions entre la géométrie riemannienne et la topologie sont un champ des mathématiques qui ne cesse de s'étendre depuis au moins deux siècles apportant des résultats spectaculaires et fondamentaux. Le théorème de Gauss-Bonnet par exemple en est une illustration convaincante. Peut-on ``mesurer'' la complexité topologique d'une application entre variétés ou plus spécifiquement d'une immersion, d'un chemin dans l'espace des immersions... etc ?  Quel tenseur rend compte au mieux d'une telle complexité ? Nous nous proposons d'illustrer ces questions immensément vastes à partir d'une opération spécifique qui consiste à retourner la sphère bidimensionelle ${\mathbb S}^2$ dans l'espace euclidien ${\mathbb R}^3$. L'existence d'une telle opération dans l'espace des immersion de ${\mathbb S}^2$ a été mise en évidence par Stephen Smale vers la fin des années 50 et avait suscité apparemment beaucoup de perplexité sur le moment tant ce résultat était inattendu. Il a fallu plusieurs années pour produire un exemple ``concret'' d'un retournement grâce aux efforts de Arnold Shapiro puis de Bernard Morin.
 

Dans cet exposé nous allons chercher a évaluer le ``coût'' minimum d'une telle opération pour le lagrangien de Willmore introduit autour de 1810 par Sophie Germain dans ses efforts d'étendre l'elastica d'Euler de la théorie de l'élasticité des poutres aux membranes bidimensionnelles. L'optimisation des eversions va nous emmener à considérer les images par des inversions d'une mystérieuse famille de surfaces minimales qui devraient se situer au ``col'' de toute eversion optimale et dont l'énergie de Germain-Willmore est conjecturée être égale à 16$\pi$. Si le temps le permet nous décrirons les différents progrès effectués récemment en direction de la preuve de cette conjecture et le chemin qui resterait à parcourir pour la démontrer.