Soit G un groupe de Lie réel semisimple, A son "sous-espace de Cartan" ou "tore déployé maximal" (sous-algèbre abélienne diagonalisable sur les réels maximale). On peut alors définir son groupe de Weyl restreint W, comme le quotient du normalisateur de A par son centralisateur. (Je donnerai des exemples concrets).
Considérons maintenant une représentation irréductible de dimension finie rho de ce groupe (agissant sur un espace V). Alors W a une action bien définie sur le sous-espace V^L formé par les vecteurs de V fixés par le normalisateur de A, appelé MA ou L. Dans le groupe de Weyl (restreint), un rôle spécial est joué par le "mot le plus long" w_0, qui envoie les racines (restreintes) positives sur les racines (restreintes) négatives. Nous nous posons la question suivante : dans quels cas ce w_0 a-t-il une action non triviale sur V^L ? (Cette question est motivée par une certaine question en dynamique des groupes de transformations affines.)
Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont les représentations pour lesquelles, déjà, V^L est non trivial ? et puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, w_0 agit non-trivialement sur V^L ? Dans le cas particulier où G est déployé, la première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à la deuxième, qui est : "presque toutes". Dans le cas général, j’ai récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième question je dispose d’une conjecture. Je vais présenter tous ces travaux.
