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v3.2.9
Les procédures de jaugeage en supergravité diffèrent des théories de jauge classiques car, dans les premières, les champs de jauge sont à valeur dans la représentation fondamentale V de l'algèbre de Lie g des symétries globales du système. La cohérence de la théorie repose sur un morphisme V-->g appelé "embedding tensor", qui permet de relever la structure d'algèbre de Lie sur g en un structure d'algèbre de Leibniz sur V. Comme c'est généralement le cas dans les théories de jauge supérieures, si l'algèbre de jauge n'est pas de Lie (ici, de Leibniz), une algèbre de Lie supérieure doit intervenir dans la théorie. Ici, une telle structure supérieure est matérialisée par une algèbre de Lie différentielle graduée sur un complexe de g-modules, appelée "hiérarchie de tenseurs".
Dans cet exposé, nous expliquons comment les hiérarchies de tenseurs sont canoniquement reliées aux modules croisés d'algèbres de Lie. En effet, les deux algèbres V et g, ainsi que leur embedding tensor V-->g, forment un triplet appelé triplet de Lie-Leibniz, dont les modules croisés d'algèbres de Lie sont des cas particuliers. Plus généralement, le foncteur associant à tout module croisé d'algèbres de Lie son unique algèbre de Lie différentielle graduée à 2 termes peut être étendu à la catégorie des triplets de Lie-Leibniz, en leur associant leur unique hiérarchie de tenseurs. Cela montre que les triplets de Lie-Leibniz constituent des généralisations naturelles des modules croisés d'algèbres de Lie et que les hiérarchies de tenseurs qui leur sont associées peuvent être considérées comme une sorte de "lie-fication" des triplets de Lie-Leibniz.
De possibles applications d'un tel foncteur seront esquissées.