Enveloppes convexes locales, estimation de support, de densité et de ligne de niveau.

par Catherine Aaron (LMBP, Univ. Clermont Auvergne)

mardi 24 janv. 2023, 11:15 → 12:15 Europe/Paris

Salle K. Johnson, 1er étage (1R3)

Dans [6], en  2004 Getz et Wilmers  proposent une heuristique afin de dessiner des cartes de "home range" et "core-area" qui correspondraient, en statistiques à une estimation de support et d'ensembles de niveaux de la densité.

Dans notre exposé nous présenterons le formalisme associé à la méthode présentée dans [6] ainsi que les résultats théoriques associés.
 

- Dans le cadre de l'estimation du support : nous présenterons les résultats que nous avons obtenus dans [2] dans le cadre de la pleine dimension, mais aussi les résultats de Vincent Divol dans [4] qui montrent que cet estimateur est aussi valide pour du manifold learning dans le cas de variétés sans bords et montrerons pourquoi les outils développés dans [1] nous conduisent à penser que nous avons aussi un estimateur pertinent dans le cas des variétés à bord.
 

- Dans le cadre de l'estimation des ensembles de niveau nous montrerons qu'en revanche la méthodologie présentée dans [6] ne peut etre minimax. Nous montrerons qu'en revanche, en s'inspirant de leur estimateur et en tirant partie des résultats de [3] et  [4] on peut définir un nouvel estimateur de la densité, minimax (lorsque la dimension est inférieure a 7), permettant de corriger les biais de bord, et très aisément adaptable au cas de l'estimation de densité sur des variétés possiblement a bords.
 

[1]  E. Aamari, C. Aaron et C. Levrard, Minimax Boundary Estimation and Estimation with Boundary, a paraitre dans Bernoulli 

[2] C. Aaron, O. Bodart, Local convex hull support and boundary estimation, Journal of Multivariate Analysis, Volume 147, 2016, Pages 82-101,

[3] Baldin, Nikolay & Reiß, Markus. (2015). Unbiased estimation of the volume of a convex body. Stochastic Processes and their Applications. 126. 10.1016/j.spa.2016.04.014.

[4]   V.E. Brunel, Uniform deviation and moment inequalities for random polytopes with general densities in arbitrary convex bodies https://arxiv.org/abs/1704.01620
[5] Vincent Divol. "Minimax adaptive estimation in manifold inference." Electron. J. Statist. 15 (2) 5888 - 5932, 2021. https://doi.org/10.1214/21-EJS1934
[6] Getz, W.M. and Wilmers, C.C. (2004), A local nearest-neighbor convex-hull construction of home ranges and utilization distributions. Ecography, 27: 489-505.