Flots de gradient, transport optimal et applications aux EDP

par Prof. Filippo Santambrogio (Université Paris sud)

mercredi 7 oct. 2015, 16:30 → 17:30 Europe/Paris

Salle XR 203 (XLIM)

Un flot de gradient dans ${\mathbb{R}}^n$ est une solution d'une équation du type $x^{\prime }(t)=-\mathrm{\nabla }F(x(t))$, c'est-à-dire une courbe de pente maximale pour une fonction $F$. Une discrétisation variationnelle en temps (Euler implicite) permet d'éviter d'utiliser le gradient et de définir donc une notion de solution qui a un sens pour des fonctions peu régulières sur des espaces sans structure différentiable, par exemple dans des espaces métriques. En considérant l'espace métrique des mesures de probabilité sur un domaine $\mathrm{\Omega }$ muni de la distance de Wasserstein (distance induite par le transport optimal, dont je rappellerai les ingrédients et les notions principaux), on peut étudier des courbes des mesures comme flots de gradient de fonctionnelles diverses dans cet espace. Et une courbe de mesures, au moins quand il s'agit de mesures absolument continues, signifie de fait une fonction $\rho (t,x)$ de deux variables. On peut donc voir quelles sont les EDP satisfaites par ces courbes et je montrerai plusieurs examples. L'example le plus connu est celui de l'équation de la chaleur, qui est le flot gradient de l'entropie, mais il y en a plein d'autres... j'arriverai en particulier à des EDP proposées récemment comme modèle pour les mouvements de foules, qui sont aussi des flots de gradient dans ce sense.