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v3.2.9
Titre :
Modèles de chaînes de matrices aléatoires Réduction et factorisation des modèles à deux matrices et supermatrices
Résumé :
La théorie des matrices aléatoires peut être abordée principalement selon deux approches. Tout d’abord, lorsque la taille N des matrices devient grande il est intéressant de regarder le régime asymptotique et d’étudier les propriétés des grandes
déviations, en particulier les corrections perturbatives. L’étude du régime N fini quant à lui se simplifie lorsqu’il est possible de définir des polynômes orthogonaux et lorsque les espérances des observables peuvent être exprimées sous une forme dite déterminantale. En particulier, les modèles Gaussiens à une ou plusieurs matrices conduisent à des résultats
classiques bien étudiés, comme par exemple la forme des fonctions de corrélation. Nous voulons présenter dans un premier temps une généralisation des modèles β = 1,4 à une matrice en introduisant une interaction de type Pfaffien. Puis dans un second temps nous étudions des chaînes de matrices que nous associons à différents types de carquois
et nous montrons comment ces modèles peuvent se réduire à des modèles à seulement deux matrices. Nous montrons plus spécifiquement que la fonction de partition associée au carquois affine de type A(1)_r se factorise en une partie bosonique contenant l’ordre dominant explicitement et une partie que nous désignons sous le terme fermionique. Nous montrons finalement en quoi cette factorisation, valide également pour les modèles de
supermatrices, soulève de nouvelles questions quant aux contributions perturbatives et non-perturbatives, en faisant le lien avec la théorie du gaz de Fermi et l’équation de Painlevé IV.
Abstract:
Random matrix theory can be mainly addressed using two me-
thods. On the one hand when the matrix size N is large one can focus on the asymptotic regime and study the large-N deviations properties, in particular the perturbative cor-rections. On the other hand the study of the finite-N regime can be simplified if it is possible to define orthogonal polynomials and if the expectation values of observables
take a determinantal form. The Gaussian models with one or a chain of matrices lead to well-studied results, as for instance the expressions of the correlation functions. We will first define a generalisation of the β = 1, 4-one-matrix models by introducing an Pfaffian-like interaction. Then we study some matrix chains that are related to different quiver and we show how these can be reduced to two-matrix models. We specifically show that the partition function of the affine quiver of type A(1)_r can be factorised in a bosonic part which explicitly contains the leading order and a fermionic part. We finally show how this factorisation, still valid for supermatrix models, leads to new questions about perturbative and non-perturbative contributions by making connection with the Fermi gas theory and Painlevé IV equation.