Soit f une forme modulaire pour un sous-groupe d’indice fini de SL2(Z) dont les coefficients de Fourier sont algébriques. Il résulte de la théorie classique des formes modulaires que les coefficients de f sont à dénominateurs bornés lorsque le sous-groupe est de congruence. Au début des années 70, Atkin et Swinnerton-Dyer ont conjecturé que, réciproquement, une forme à dénominateurs bornés est toujours modulaire pour un sous-groupe de congruence. J’expliquerai une preuve récente de cette conjecture due à Calegari, Dimitrov et Tang (cf. arXiv:2109.09040). Elle repose sur de belles interactions entre un nouveau théorème d’algébricité pour les séries entières, la théorie de Nevanlinna pour des uniformisations explicites du plan complexe privé des racines de l’unité et le fait que SL2(Z[1/p]) possède la propriété des sous-groupes de congruence.
