Résumé: dans cet exposé, je présenterai l'estimation résolvante optimale pour l'opérateur d'onde amortie associée à l'opérateur de Bouendi-Grushin, un opérateur hypoelliptique simple de degré 1. Les résultats s'expriment en fonction de l'amortissement: la condition de contrôle géométrique sous-elliptique, la condition de contrôle géométrique elliptique, le support et l'ordre d'annulation de l'amortissement. Je vais expliquer principalement notre analyse dans le régime sous-elliptique où on effectue la construction de la mesure deux-microlocale semiclassique et la propagation de cette mesure le long du flot sous-elliptique (c'est le flot de transport 1d dans notre géométrie simple). Cette propagation sous-elliptique est responsable de l'existence des quasi-modes d'ordre $O(h^2)$, qui explique moralement mon ancien résultat avec Nicolas Burq sur l'observabilité de l'équation de Schrödinger-Grushin.
