Problèmes de croissance dans les groupes à courbure négative

par Rémi Coulon

mardi 10 janv. 2023, 11:15 → 12:15 Europe/Paris

IMT

Étant un groupe G agissant sur un espace métrique X, son taux de croissance exponentiel permet de mesurer la "taille" des orbites de G. Plus précisément elle quantifie le comportement asymptotique du nombre de points de cette orbite dans une boule. 

Lorsque G est le groupe fondamental d'une variété hyperbolique compacte M, agissant sur le revêtement universel X de M, alors ce taux a de multiples interprétations à la fois géométriques et dynamiques. C'est en particulier l'entropie du flot géodésique sur le fibré unitaire langent de M. Dans cette configuration l'étude dynamique du flot géodésique sur M (et ses revêtements) permet d'obtenir de nombreuses informations sur les taux de croissance de G et ses sous-groupes.

 

Dans cet exposé on présentera un travail en cours, dont l'objectif est d'explorer des méthodes similaires tout en relâchant fortement l'hypothèse de courbure négative sur X. Pour les applications qui nous intéressent, il suffit en effet de supposer que le groupe G contient un "élément contractant", auquel on peut penser comme une "direction hyperbolique". Ce cadre général englobe, outre les groupes fondamentaux de variétés hyperbolique, les groupes (relativement) hyperboliques, le groupe modulaire d'une surface agissant sur l'espace de Teichmüller, la plupart des groupes d'Artin à angle droits agissant sur leur graphe de Cayley, etc.

On donnera comme application un critère de moyennabilité pour les quotients du groupe G.