Les effets d’un changement de base sur le développement d’un nombre réel irrationnel est une source de grand mystère. Alors que le nombre dont le développement binaire est la suite caractéristique des puissances de 2 a une écriture « simple » en base 2, son développement décimal
0.316 421 509 021 893 143 708 079 737 530 525 221 703 311 375 920 552 804 341 211 ...
paraît particulièrement obscure. Une conjecture de Furstenberg (1970) formalise l’intuition selon laquelle un nombre réel irrationnel ne peut avoir de développement simple dans deux bases multiplicativement indépendantes.
Pour définir la « simplicité » du développement d’un nombre réel, plusieurs approches sont possibles. Dans cet exposé nous retiendrons une approche calculatoire : le développement d’un nombre dans une base b est simple s’il peut être engendré par un automate fini – une classe de machines de Turing élémentaires. On dit que le nombre est automatique en base b. Dans ce cadre, nous avons récemment prouvé qu'il n'existe aucun réel irrationnel qui soit automatique dans deux bases multiplicativement indépendantes. La démonstration repose sur la méthode de Mahler, une méthode de transcendance initiée par le mathématicien éponyme, dans les années 1930.
Les résultats présentés dans cet exposés sont issus d’un travail commun avec B. Adamczewski. Une prépublication de ce travail est disponible à l’adresse suivante : https://arxiv.org/abs/2012.08283
