Pour tout entier naturel k, les k-différentielles sur une surface de Riemann sont des sections méromorphes de la k-ième puissance tensorielle du fibré canonique de celle-ci. Il est bien connu que les k-différentielles induisent des métriques plates à singularités coniques sur la surface de Riemann.
Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des compactifications particulières, appelées variétés d'incidence, des espaces de modules de k-différentielles. Il s'agit des variétés algébriques complexes (en fait des variétés projectives) qui ne sont pas encore très bien comprises jusqu'ici.
Il s'avère que en cas de genre 0, ces variétés peuvent être décrites de façon explicite. Cela nous permet de calculer les volumes des espaces de modules de k-différentielles, que l'on peut voir comme des espaces de modules de surfaces plates, par la théorie des intersections dans des variétés algébriques. Comme application, on retrouve partiellement une formule de Kontsevich pour les volumes des espaces de formes quadratiques en genre 0, qui a été démontrée par Athreya-Eskin-Zorich par une différente approche.
Nous discutons enfin quelques pistes pour généraliser ces résultats aux genres plus grands.
