Stabilité en optimisation de forme sous contrainte de convexité

par Raphaël Prunier

lundi 14 nov. 2022, 10:00 → 11:00 Europe/Paris

Laboratoire de Mathématiques d'Orsay

L'optimisation de forme est l'étude des problèmes de minimisation pour lesquels l'optimisation se fait par rapport à $\Omega \subset \mathbb R^n$ qui parcourt une certaine classe $\mathcal{A}$ de sous-ensembles de $\mathbb R^n$. La contrainte de convexité signifie que l'on impose $\mathcal{A}\subset \{\text{parties convexes de }\mathbb R^n\}$. Lorsqu'une boule $B\subset\mathbb R^n$ est un minimiseur d'une fonctionnelle $\Omega \in \mathcal{A}\mapsto J(\Omega)$ (par exemple lorsque $J$ est la fonctionnelle périmètre), une question qui se pose est celle de sa stabilité : si l'on perturbe $J$ en $J+\varepsilon R$ où $R$ est une autre fonctionnelle et $\varepsilon\rightarrow0$, $B$ est-elle toujours un (le?) minimiseur de $J+\varepsilon R$ ? Dans cet exposé nous présentons une méthode générale introduite par M. Cicalese et G.-P. Leonardi -- le \textit{selection principle} --  très efficace pour prouver la stabilité de la boule, consistant à montrer d'abord la stabilité pour des perturbations régulières pour en déduire la stabilité en général grâce à une procédure de sélection régularisante. La deuxième étape s'appuie sur une théorie de la régularité pour $J$, et la contrainte de convexité joue alors un rôle central puisqu'elle permet (dans certains cas) d'obtenir plus de régularité. Nous présentons en détail l'exemple de $P-\varepsilon\lambda_1$ où $\lambda_1$ est la première valeur propre du laplacien Dirichlet, pour lequel nous obtenons la stabilité optimale de la boule. La présentation est basée sur un travail conjoint avec J. Lamboley.