Stabilité en optimisation de forme sous contrainte de convexité

par Raphaël Prunier

lundi 14 nov. 2022, 10:00 → 11:00 Europe/Paris

Laboratoire de Mathématiques d'Orsay

L'optimisation de forme est l'étude des problèmes de minimisation pour lesquels l'optimisation se fait par rapport à $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ qui parcourt une certaine classe $\mathcal{A}$ de sous-ensembles de ${\mathbb{R}}^n$. La contrainte de convexité signifie que l'on impose $\mathcal{A}\subset \{\text{parties convexes de }{\mathbb{R}}^n\}$. Lorsqu'une boule $B\subset {\mathbb{R}}^n$ est un minimiseur d'une fonctionnelle $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}\mapsto J(\mathrm{\Omega })$ (par exemple lorsque $J$ est la fonctionnelle périmètre), une question qui se pose est celle de sa stabilité : si l'on perturbe $J$ en $J+\epsilon R$ où $R$ est une autre fonctionnelle et $\epsilon \to 0$, $B$ est-elle toujours un (le?) minimiseur de $J+\epsilon R$ ? Dans cet exposé nous présentons une méthode générale introduite par M. Cicalese et G.-P. Leonardi -- le \textit{selection principle} --  très efficace pour prouver la stabilité de la boule, consistant à montrer d'abord la stabilité pour des perturbations régulières pour en déduire la stabilité en général grâce à une procédure de sélection régularisante. La deuxième étape s'appuie sur une théorie de la régularité pour $J$, et la contrainte de convexité joue alors un rôle central puisqu'elle permet (dans certains cas) d'obtenir plus de régularité. Nous présentons en détail l'exemple de $P-\epsilon {\lambda }_1$ où ${\lambda }_1$ est la première valeur propre du laplacien Dirichlet, pour lequel nous obtenons la stabilité optimale de la boule. La présentation est basée sur un travail conjoint avec J. Lamboley.