Prenez deux pentagones réguliers de la même taille, recollez-les par un côté, et recollez chaque côté restant au côté parallèle. Vous obtenez une surface orientable de genre deux, munie d'une métrique euclidienne avec une singularité conique. C'est l'une des surfaces de Veech originelles, découverte par Veech en 1989. On se pose la question : combien de fois deux courbes fermées de longueur donnée peuvent s'intersecter (les intersections étant comptées avec signe) ? Plus précisément, on cherche le supremum, sur toutes les paires de courbes fermées, de leur intersection algébrique divisée par le produit de leurs longueurs. Il s'avère que le supremum est un maximum, réalisé par les paires de côtés adjacents, et cette propriété persiste quand on déforme les pentagones par une matrice 2 x 2. Travail en commun avec Julien Boulanger et Erwann Lanneau (Grenoble).
