Gamma-convergence et singularités vortex au bord dans des films ferromagnétiques minces avec interaction de Dzyaloshinskii-Moriya

par M. François L'Official (Institut de Mathématiques de Toulouse)

mardi 19 juil. 2022, 14:00 → 17:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Cette thèse porte sur l'analyse asymptotique d'un modèle variationnel pour les films ferromagnétiques minces. On étudie l'énergie micromagnétique, définie pour des applications d'un ouvert de ${\mathbb{R}}^3$ à valeurs dans la sphère ${\mathbb{S}}^2$, appelées aimantations, en prenant en compte l'effet antisymétrique dû à l'interaction de Dzyaloshinskii-Moriya.

Dans le premier chapitre de la thèse, on étudie la Gamma-convergence de l'énergie micromagnétique dans un régime de film mince qui favorise l'émergence de vortex au bord de taille $\epsilon >0$, via une pénalisation au bord obtenue dans la Gamma-limite de l'énergie. Cette limite est en fait définie pour des aimantations invariantes dans l'épaisseur du film et à valeurs dans le cercle unité ${\mathbb{S}}^1$, ce qui signifie que le modèle général en trois dimensions se réduit à un modèle en deux dimensions. On cherche ensuite les minimiseurs locaux de l'énergie Gamma-limite dans le demi-plan supérieur. Pour cela, on étudie d'abord ses points critiques, qui satisfont un problème de Neumann non linéaire similaire au problème de Peierls-Nabarro. On en déduit, sous certaines conditions, l'unicité des minimiseurs locaux de l'énergie au sens de De Giorgi. Ceux-ci correspondent à des applications qui tendent à présenter un vortex de taille $\epsilon >0$ sur le bord du domaine.

Dans le second chapitre de la thèse, on considère un autre régime de film mince favorisant les singularités vortex au bord. Grosso modo, ce régime consiste dans l'analyse du modèle précédent lorsque $\epsilon \to 0$. On montre que l'étude du modèle général en trois dimensions se ramène ici aussi à l'étude d'un modèle intermédiaire en deux dimensions, mais dans lequel figurent à la fois une pénalisation intérieure (les applications ne sont plus à valeurs dans ${\mathbb{S}}^1$) et une pénalisation au bord du domaine. D'abord, on étudie ce modèle intermédiaire en deux dimensions. Grâce à la notion de Jacobien global, on obtient des résultats de compacité et un développement asymptotique au second ordre par Gamma-convergence de l'énergie micromagnétique. Le terme d'ordre un montre que les singularités vortex sont localisées au bord du domaine, tandis que le terme d'ordre deux est une énergie renormalisée, semblable à celle rencontrée dans le modèle de Ginzburg-Landau, qui permet d'estimer le coût d'interaction entre les vortex au bord. On calcule explicitement cette énergie renormalisée, influencée par l'interaction de Dzyaloshinskii-Moriya, et on étudie la structure des minimiseurs. Enfin, grâce à ces résultats, nous déduisons la Gamma-convergence à l'ordre deux dans le modèle en trois dimensions.