Étude des équations de Schrödinger sur les graphes métriques

par Elio Durand-Simonnet

mercredi 3 juin 2026, 14:30 → 18:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Composition du jury :
Mme Colette DE COSTER, Rapporteure, Université Polytechnique Hauts-de-France
M. Simone DOVETTA, Rapporteur, Politecnico di Torino
M. Mihai MARIS, Examinateur, Université de Toulouse
M. Louis JEANJEAN, Examinateur, Université Marie et Louis Pasteur
M. Stefan LE COZ, Directeur de thèse, Université de Toulouse
M. Romain DUBOSCQ, Co-directeur de thèse, INSA Toulouse
M. Julien ROYER, Université de Toulouse

Résumé :

L'équation de Schrödinger est un modèle fondamental décrivant l'évolution des fonctions d'onde en mécanique quantique. Cette thèse explore plusieurs questions liées à cette équation lorsqu'elle est posée sur des graphes métriques, c'est-à-dire des réseaux d'arêtes unidimensionnelles reliées entre elles au niveau des sommets. Au cours des quinze dernières années, ce domaine de recherche a suscité un intérêt considérable, car il offre un cadre naturel pour modéliser la propagation des ondes dans des systèmes physiques minces et ramifiés, tout en posant des défis analytiques qui diffèrent sensiblement de ceux rencontrés sur la droite réelle.

Dans le Chapitre 2, nous étudions l'équation de Schrödinger non linéaire focalisante sur un graphe tadpole doté d'une condition de sommet de type Delta répulsive. Nous établissons d'abord l'existence d'états fondamentaux d'action sur une gamme de fréquence et de longueur. Nous analysons ensuite la structure détaillée des états stationnaires non négatifs. Enfin, nous complétons cette étude par des simulations numériques.

Dans les Chapitres 3 et 4, nous étudions l'équation de Schrödinger non linéaire défocalisante sur des graphes métriques généraux. Nous dérivons un critère optimal garantissant l'existence d'états fondamentaux de l'action. Nous prouvons ensuite l'existence d'états fondamentaux de l'énergie dans différents régimes de masse et de non-linéarité, obtenant des résultats plus précis dans le cas de conditions aux sommets de type Delta. Dans ce dernier cadre, nous montrons en outre que l'état fondamental bifurque du vecteur propre associé à la borne inférieure du spectre de l'opérateur hamiltonien. Enfin, nous établissons un résultat de multiplicité des solutions stationnaires, tant
dans le cadre de fréquence fixe que dans celui de masse fixe.

Dans le Chapitre 5, nous analysons le phénomène de dispersion sur l'équation libre de Schrödinger perturbée par un réseau à courte portée de potentiels de Dirac. Nous établissons un principe d'absorption limite ainsi qu'une analyse détaillée des fonctions de Jost associées à l'opérateur Hamiltonien. Enfin, nous en déduisons une estimation dispersive pour le propagateur de Schrödinger associé.