Cette thèse s'inscrit dans une série de travaux menés par Aldéric Joulin, Michel Bonnefont et leurs collaborateurs, dont le but est d'appliquer des relations d'entrelacement pour obtenir des informations sur certains générateurs de Markov. Le présent travail traite de trois propriétés plus spécifiquement : les inégalités de Poincaré, de Sobolev logarithmiques et les estimations spectrales. Les deux inégalités ci-dessus sont des outils classiques d'analyse infini-dimensionnelle, qui présentent des liens intéressants avec les générateurs sus-mentionnés et les propriétés de la mesure de Boltzmann-Gibbs associée.
Le premier chapitre propose une approche basée sur les semi-groupes de Feynman-Kac pour déduire de nouvelles estimations en relation avec l'inégalité de Sobolev logarithmique. Les résultats sont obtenus en utilisant le lien entre générateurs et processus stochastiques, via les semi-groupes de Feynman-Kac.
Le deuxième chapitre pousse la réflexion amorcée par l'inégalité de Poincaré sur l'estimation des valeurs propres desdits générateurs en proposant une vision algébrique pour l'estimation de ces dernières. Ce travail fait écho à un article récent d'Emanuel Milman sur le sujet, où une approche par transport optimal était privilégiée. Les multiplicités associées sont également discutées, en lien notamment avec de récents travaux de Franck Barthe et Boaz Klartag.
Enfin, le dernier chapitre traite d'une application des inégalités de Poincaré à l'analyse de sensibilité, où ces dernières sont utilisées pour faire un lien entre deux familles d'indices de sensibilité. Une méthode d'estimation en lien avec cette inégalité en dimension deux est proposée, basée sur des techniques d'éléments finis.
