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v3.2.9
Certaines équations aux dérivées partielles admettent des solutions en onde de propagation. Dans le cas particulier où le profil de l'onde connecte deux états constants distincts, on parle de front. Les équations de réaction-diffusion, introduites pour modéliser de nombreux phénomènes biologiques, laissent apparaître de telles solutions. Savoir lesquelles de ces fronts sont stables est important, puisque ceux-ci attirent alors les solutions génériques, et décrivent donc leurs propriétés. Dans cette thèse, on s'intéresse à des fronts monostables, c'est-à-dire à des ondes connectant un état constant stable à un état constant instable. On obtient dans trois scénarios différents la stabilité asymptotique de fronts monostables.
Le chapitre 2 traite d'une équation de FKPP étendue. Cette EDP présente une dérivée d'ordre 4 dont le coefficient est choisi arbitrairement proche de 0. Dans ce contexte, nous ré-obtenons l'existence d'un front critique. De plus, nous étudions les propriétés spectrale de la linéarisation au voisinage de ce front. La description précise de ce spectre, et en particulier la situation à l'origine, a pour conséquence la stabilité asymptotique du front.
Le chapitre 3 s'intéresse à une situation où l'état constant à l'arrière d'un front FKPP devient également instable. Cette situation apparaît naturellement dans l'équation FKPP avec terme de réaction non-local, mais est plutôt étudiée ici pour un système. Lorsqu'une bifurcation de Turing déstabilise l'état constant à l'arrière, on montre que le front FKPP critique reste stable dans un repère en translation.
Le chapitre 4 étudie des équations de bilan, aussi appelées équations de réaction-advection. L'absence de laplacien, et la présence d'un terme quasi-linéaire, peuvent mener à des solutions discontinues en espace. Bien que le cadre semble différent, nos conclusions sont très similaires au cas FKPP. En particulier, nous obtenons la stabilité de fronts surcritiques.