Billards au comportement chaotique

par Prof. Françoise Pène (Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique)

vendredi 2 déc. 2022, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz (Bâtiment 1R3, Université Paul Sabatier)

Dans cet exposé nous nous intéresserons à des billards au comportement chaotique. Nous considérerons plusieurs exemples de tables de billards dispersifs. Certaines de ces tables seront données par des domaines finis (billard de Sinai dans le tore avec des obstacles "ronds", billard de Bunimovich dans le stade, billard avec des points de rebroussements), d'autres par des domaines infinis (gaz de Lorentz $\mathbb{Z}$- ou ${\mathbb{Z}}^2$-périodique). Nous nous intéresserons au comportement asymptotique d'une particule ponctuelle évoluant dans ces domaines selon la loi de la réflexion de Descartes (angle incident = angle réfléchi), avec un petit aléa sur les position et vitesse initiales (aléa correspondant par exemple à une petite incertitude sur leurs valeurs exactes). Nous verrons ainsi apparaître à la limite: des mouvements browniens (avec normalisation standard ou non), des processus de Lévy. Ces théorèmes limites probabilistes utilisent à la fois la géométrie des tables de billards et des méthodes issues de l'analyse (perturbation d'opérateurs quasi-compacts). Cet exposé tentera de montrer comment ces notions de probabilités, de géométrie et d'analyse interviennent dans l'étude de ces systèmes dynamiques.