Lorsque $c$ décroît de $1/4$ à $c_{Feig}$ (le paramètre de Feigenbaum), on sait que la dynamique change suivant une cascade de doublements de période qui a été analysée par Feigenbaum (il parlait du modèle logistique, qui est équivalent). Soit $d(c)$ la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Julia de $z^2+c$: les travaux de Ruelle, Bodart-Z. et McMullen montrent que $d$ est continue sur $(c_{Feig},1/4)$ et Jaksztas-Z. ont montré qu'en un point de bifurcation $c_0$ de cet intervalle $d$ est localement $C^1$ si $d(c_0)>4/3$. Récemment Dudko, Gorbovickis et Tucker ont prouvé cette inégalité pour tous les points de bifurcation $<-3/4$, prouvant ainsi que $d$ est de classe $C^1$ sur $(c_{Feig},-3/4)$. Après un bref historique du sujet, j'essaierai de donner une idée de cette preuve qui utilise massivement l'outil informatique.
G. Havard
