Séminaire d'arithmétique à Lyon

Nouveaux cas du théorème de Brauer-Siegel généralisé

by Richard Griffon (Université Clermont-Auvergne)

Europe/Paris
M7.411 (ENS Lyon, UMPA)

M7.411

ENS Lyon, UMPA

Description

Étant donnée une suite infinie S de corps de nombres, on peut tenter de décrire le comportement asymptotique, lorsque K parcourt S, du produit du nombre de classes de K par son régulateur des unités, en termes du discriminant de K. Le théorème de Brauer-Siegel répond à cette question lorsque les corps de nombres de S sont de degré borné. Dans les années 2000, Tsfasman et Vladuts ont formulé une réponse conjecturale à cette question pour des suites S (presque) arbitraires: leur conjecture, qu'on appellera GBS, fournirait une vaste généralisation du théorème de Brauer-Siegel. On sait que GBS suivrait de l'hypothèse de Riemann généralisée. Par ailleurs, GBS est connue inconditionnellement pour quelques suites de corps de nombres. Par exemple, Lebacque et Zykin l'ont prouvée pour des familles asymptotiquement exactes de corps de nombres galoisiens par pas sur Q. 

Dans cet exposé, je parlerai d'un travail avec Philippe Lebacque dans lequel nous démontrons GBS pour de nouvelles familles de corps de nombres. J'expliquerai les grandes idées de notre preuve et, si le temps le permet, je donnerai quelques exemples concrets de familles pour lesquelles GBS est maintenant connue.