Le cup produit sur les variétés topologiques et le produit d'intersection sur les variétés algébriques induisent des formes quadratiques qui se trouvent être un invariant fin de ces variétés. Je présenterai des résultats et des questions les concernant et je motiverai cette étude par des applications arithmétiques et géométriques : théorème de l'indice de Hodge, conjectures standards, application aux estimées de Lang-Weil ou à l'existence de variétés topologiques qui n'admettent pas de structure différentielle.
Ce sera en passant l'occasion de voir en action un certain nombre de théorèmes fondamentaux sur la cohomologie des variétés : les théorèmes de comparaison, les relations de Hodge-Riemann, les changements de bases,...
