Séminaire Modélisation, Optimisation, Dynamique

Optimisation stochastique sur un ensemble de Pareto

by Henri Bonnel (Université de Nouvelle Calédonie)

Europe/Paris
XLIM Salle X.203

XLIM Salle X.203

FST-Université de Limoges, 123, Av. Albert Thomas.
Description
L’ensemble des solutions d’un problème d’optimisation multicritère (POM), appelé ensemble de Pareto ou efficient, est souvent très grand (infini et même non borné). La grande coalition d’un jeu coopératif peut être posé sous la forme d’un (POM). Si ce jeu est arbitré par un preneur de décisions, celui-ci peut utiliser son propre critère (scalaire) pour choisir une solution. Évidemment la solution choisie doit convenir à tous les joueurs, donc doit être de Pareto. Résoudre le problème d’optimiser sur un Pareto permet également d’éviter de générer tout l’ensemble de Pareto. Pour le cas déterministe en dimension finie il y a beaucoup de contributions dans la littérature (voir le survey [6] et ses références). Quelques résultats récents pour le cas des problèmes de contrôle optimal multicritère ont été présentés dans [3,5]. Des généralisations de ce problème pour le cas d’optimisation semi-vectorielle à deux niveaux ont été obtenues dans [4]. Mon exposé présentera le cas stochastique et sera basé sur les articles [1,2]. Plus précisément, on se propose de minimiser l’espérance mathématique d’une fonction aléatoire scalaire sur l’ensemble de Pareto associé à un problème d’optimisation multicritère stochastique, dont les objectifs sont des espérances mathématiques des fonctions aléatoires. En utilisant la méthode de Monte-Carlo on montre dans le cas strictement convexe que la distance de Hausdorff-Pompeiu entre l’ensemble de Pareto d’un échantillon de taille N et le vrai Pareto tend vers zéro presque sûre quand N tend vers infini. De même, tout point adhérent de toute suite de solutions optimales des échantillons et presque sûre une solution optimale du vrai problème. Pour le cas non convexe on présente des résultats similaires pour le problème d’optimiser sur le front de Pareto, i.e. sur l’image de l’ensemble de Pareto par l’objectif vectoriel. [1] H. Bonnel and J. Collonge. Stochastic Optimization over a Pareto Set Associated with a Stochastic Multi-objective Optimization Problem. Journal of Optimization Theory and Applications, 162, 405-427, 2014. [2] H. Bonnel and J. Collonge. Optimization over the Pareto outcome set associated with a convex bi-objective optimization problem: theoretical results, deterministic algorithm and application to the stochastic case, Journal of Global Optimization, 60 (4), 2014 (On line First). [3] H. Bonnel. Post-Pareto Analysis for Multiobjective Parabolic Control Systems. Ann. Acad. Rom. Sci. Ser. Math. Appl., 5: 13–34, 2013. [4] H. Bonnel and J. Morgan. Semivectorial Bilevel Convex Optimal Control Problems: An Existence Result. SIAM Journal on Control and Optimization, 50, (6): 3224–3241, 2012. [5] H. Bonnel and Y. Kaya. Optimization Over the Efficient Set of Multi-objective Convex Optimal Control Problems. Journal of Optimization Theory and Applications, 147, (1): 93–112, 2010. [6] Y. Yamamoto. Optimization over the efficient set: an overview. J. Global Optim., 22: 285-317, 2002.
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