Jules MARTEL, "Représentations homologiques de groupes modulaires (applications aux nœuds et à la topologie quantique)"

jeudi 9 sept. 2021, 10:30 → 12:00 Europe/Paris

A318 (IMB)

Au début des années 1990 R. Lawrence construit des représentations des groupes de tresses sur des homologies tordues d'espaces de configurations. Cette construction repose sur le fait que les groupes de tresses sont des groupes modulaires de disques et porta ses fruits lorsque Bigelow et Krammer en ont extrait des représentations linéaires fidèles. A la même époque, Reshetikhin et Turaev développent la topologie quantique qui prend en entrée une algèbre quantique et ses modules et aboutit a des représentations des groupes de tresses qui se généralisent à des représentations (dites quantiques) des groupes modulaires de surfaces.
  Nous étudierons d'abord la construction des représentations homologiques à la Lawrence. Nous verrons qu'elles permettent de retrouver les représentations quantiques des groupes de tresses. Ce dernier lien permet d'obtenir des interprétations géométrico-dynamiques pour les invariants quantiques dérivés du mystérieux polynôme de Jones.
  Dans le second temps du séminaire, nous approfondirons l'étude de la structure des homologies d'espaces de configurations. Par ce prisme nous encouragerons la généralisation de la construction de représentations homologiques aux groupes modulaires de surfaces en genre supérieur (à 0) et conjecturerons leur lien avec des représentations quantiques. (Ce dernier travail est en cours, avec M. De Renzi.)