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v3.2.9
Si S est une surface compacte orientée à bords, l'espace des modules M(S) est l'espace des classes conformes de métriques à difféomorphisme près. Étudier un ensemble de surfaces aléatoires revient à se donner une mesure de probabilité sur M(S). Cependant, de nombreux aspects géométriques (comme la longueur d'une courbe) ne sont pas accessibles dans M(S), et il devient utile d'étudier son revêtement universel: l'espace de Teichmüller T(S). Celui-ci admet plusieurs descriptions, qui conduisent topologiquement au même espace, mais le munissent de structures géométriques (et de mesures de probabilités) différentes. Je donnerai une vue d'ensemble de la géométrie de T(S) associée aux graphes rubans (autrement dit, aux cartes sans faces internes) sur lesquels S se rétracte: forme symplectique (définie par Kontsevich) et mesure de comptage, coordonnées canoniques de type Fenchel-Nielsen, identités de type Mirzakhani-McShane, et leurs applications à des questions énumératives (anciennes ou nouvelles). L'étude (à la suite de Thurston, Penner et bien d'autres) de feuilletages mesurés duaux aux graphes rubans et de leurs déformations joue ici un rôle central. Si le temps le permet, j'expliquerai en quoi la géométrie combinatoire décrit la limite de la géométrie hyperbolique pour de grandes longueurs de bords, par l'intermédiaire d'un flot d'écrasement sur un graphe.
L'exposé se base sur un travail en commun avec Jørgen Ellegaard Andersen, Séverin Charbonnier, Alessandro Giacchetto, Danilo Lewański et Campbell Wheeler.