Séminaire de Géométrie, Groupes et Dynamique

Corentin Fierobe: "On analytic projective billiards with open sets of triangular orbits"

Europe/Paris
435 (UMPA)

435

UMPA

Description
 
This talk will present a generalization of billiards called projective billiards. In such billiards, the law of reflection is not defined by the usual orthogonal symmetries with respect to the tangent lines of the billiard tables. Instead, the curves defining the billiard tables are endowed with a field of lines, giving place to another reflection law at each point of the borders. Playing on these tables, we can therefore investigate the same questions as for the usual billiards, and for example try to answer Ivrii's conjecture: are there billiard tables on which one can find a two-dimensional set of periodic orbits? Even more, is it possible to classify such tables? I will present a result for triangular periodic orbits and also nice examples for periodic orbits with period greater than 3, and try to show how analytic geometry can be useful in such theory.
 
 

Lors de cet exposé, nous présenterons une généralisation des billards classiques à des billards dits projectifs. Dans de tels modèles, la loi de réflexion à l'intérieur d'un domaine n'est plus définie à l'aide de la loi "angle d'incidence = angle réfléchi" à chaque point de rebond, mais par la donnée d'un champs de droites transverses définies sur le bord du domaine considéré : ces droites définissent une façon de réfléchir les droites qui intersectent le bord du domaine. En considérant ce système dynamique, on peut se poser les mêmes questions que pour le billard classique, et par exemple essayer d'y traduire la conjecture de Ivrii : peut-on trouver des billards projectifs possédant une famille à deux paramètres d'orbites périodiques ? Et une question plus générale encore : peut-on classifier les billards projectifs qui vérifient cette dernière propriété ? Je présenterai la réponse dans le cas des orbites triangulaires, et donnerai d'autres exemples pour un plus grand nombre de rebonds, en constatant au passage que la géométrie analytique est un outil pratique dans de tels systèmes.