La décomposition de Jordan-Chevalley pour des G-torseurs sur une courbe elliptique

par Dragos FRATILA (Strasbourg)

jeudi 10 déc. 2020, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

112 virtuel (bât. Braconnier)

Le champ de G-torseurs sur une courbe elliptique fait partie d'un triplet dont les autres deux objets sont le quotient adjoint de Lie(G) et le quotient adjoint de G par lui-même.

Dans ces deux cas on a une décomposition de Jordan-Chevalley et on voudrait donner un sens à ça pour les G-torseurs.

Nous n'avons pas à disposition une loi interne (comme pour l'algèbre de Lie ou le groupe) pour "multiplier" deux tels G-torseurs mais neanmoins, apres reformulation des cas classiques, on peut montrer que tout G-fibré (semistable, deg 0) sur une courbe elliptique s'écrit de façon unique comme un "produit" d'un fibré unipotent et d'un fibré semisimple.

Si la courbe n'est pas supersingulière on peut aussi donner un isomorphisme entre le lieu unipotent pour les G-torseurs et le cône unipotent dans le groupe G (ou le cône nilpotent dans Lie(G)).

Dans cet exposé j'expliquerai surtout les motivations pour la recherche d'une telle décomposition et si le temps le permet, j'esquisserai les idées de la démonstration.