Mesure harmonique sur un grand arbre de Galton-Watson critique près d'un point typique
by
Prof.Shen LIN(ENS, Ulm)
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Europe/Paris
Centre de conférences Marilyn et James Simons (I.H.E.S.)
Centre de conférences Marilyn et James Simons
I.H.E.S.
Le Bois-Marie
35, route de Chartres
91440 Bures-sur-Yvette
Description
Considérons une marche aléatoire simple sur un arbre de Galton-Watson critique conditionné à avoir une hauteur supérieure à $n$. La loi du point d'atteinte de la hauteur $n$ par la marche aléatoire s'appelle la mesure harmonique au niveau $n$. Il est bien connu que le cardinal de l'ensemble des sommets de l'arbre au niveau $n$ est de l'ordre de $n$. En 2013 Curien et Le Gall ont prouvé qu'il existe une constante $\beta=0.78...$ telle que la mesure harmonique est portée, à un ensemble de masse arbitrairement petite près, par un ensemble de cardinal de l'ordre de $n^\beta$. Dans cet exposé, nous présentons l'existence d'une nouvelle constante universelle $\lambda=1.21...$ telle que, avec grande probabilité, la mesure harmonique portée par un sommet typique à la hauteur $n$ est de l'ordre $n^{-\lambda}$.