Journée "Cartes Aléatoires"

Mesure harmonique sur un grand arbre de Galton-Watson critique près d'un point typique

par Prof. Shen LIN (ENS, Ulm)

Europe/Paris
Centre de conférences Marilyn et James Simons (I.H.E.S.)

Centre de conférences Marilyn et James Simons

I.H.E.S.

Le Bois-Marie 35, route de Chartres 91440 Bures-sur-Yvette
Description
Considérons une marche aléatoire simple sur un arbre de Galton-Watson critique conditionné à avoir une hauteur supérieure à $n$. La loi du point d'atteinte de la hauteur $n$ par la marche aléatoire s'appelle la mesure harmonique au niveau $n$. Il est bien connu que le cardinal de l'ensemble des sommets de l'arbre au niveau $n$ est de l'ordre de $n$. En 2013 Curien et Le Gall ont prouvé qu'il existe une constante $\beta=0.78...$ telle que la mesure harmonique est portée, à un ensemble de masse arbitrairement petite près, par un ensemble de cardinal de l'ordre de $n^\beta$. Dans cet exposé, nous présentons l'existence d'une nouvelle constante universelle $\lambda=1.21...$ telle que, avec grande probabilité, la mesure harmonique portée par un sommet typique à la hauteur $n$ est de l'ordre $n^{-\lambda}$.
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