Les nombres de Markov sont des entiers positifs qui apparaissent dans les solutions d'une équation diophantienne, la cubique de Markov
x2 + y2 + z2 − 3xyz = 0.
Sujet classique de la théorie des nombres, ces nombres sont liés à de nombreux domaines des mathématiques tels que la combinatoire, la géométrie hyperbolique, la théorie de l'approximation et les algèbres amassées.
Dans les années 50, H. Cohn a découvert une relation entre les nombres de Markov et les longueurs de géodésiques simples fermées sur le tore percé. Dans les années 90, avec Igor Rivin, nous avons introduit une méthode qui permet d'estimer le nombre de nombres de Markov inférieurs à $ L> 0 $. L'ingrédient clé en était l'utilisation d'une norme sur la première homologie du tore.
Dans cet exposé nous allons :
- expliquer la géométrie de la norme et comment elle peut être utilisée pour prouver de nouvelles identités pour des longueurs de géodésiques fermées simples
- utiliser la convexité pour donner une nouvelle preuve unifiée de certaines conjectures que Martin Aigner a formulées dans son livre, le théorème de Markov et 100 ans de la conjecture d'unicité.
