Exposé de Huayi CHEN: Systèmes linéaires gradués qui ne sont pas de type fini

jeudi 8 oct. 2020, 15:30 → 16:30 Europe/Paris

C112 (Saint-Etienne (Métare))

Résumé: En algèbre commutative ou en géométrie algébrique, on s’intéresse souvent au comportement asymptotique de la fonction de Hilbert d’une algèbre graduée sur un corps, qui associe à chaque entier naturel $n$ la dimension de la composante homogène de degré $n$. Dans le cas où l’algèbre est de type fini sur son corps de base, il est bien connu que la fonction de Hilbert est équivalente à un polynôme lorsque $n$ tend vers l’infini. Des subtilités apparaissent lorsque l’algèbre n’est pas de type fini — ceci se produit souvent en géométrie algébrique ou arithmétique. En utilisant une comparaison aux algèbres de semi-groupes, Kaveh-Khovanskii et Lazarsfeld-Mustaţă ont pu décrire le comportement asymptotique d’une sous-algèbre gradué d’une algèbre gradué de type fini et intègre, sous l'hypothèse que le corps des fractions de degré $0$ admet une valuation de feuilles unidimensionnelles. Cette hypothèse implique par exemple que ce corps des fractions de degré $0$ est géométriquement intègre sur le corps de base. Dans cet exposé, j’expliquerai comment la méthode arithmétique permet d’enlever cette hypothèse, où un variant birationnel du 14e problème de Hilbert joue un rôle techniquement important. Il s’agit d’un travail en commun avec Hideaki Ikoma (Université Shitennoji).