Sur le problème de la couronne ultramétrique

par Prof. Alain ESCASSUT (Univ. Clermont-Ferrand)

lundi 6 oct. 2014, 11:00 → 12:00 Europe/Paris

X203 (Bâtiment XLIM)

Le probleme de la couronne (Corona Problem) sur un corps ultrametrique complet algebriquement clos Soit D le disque unite ouvert de C et soit A la C-algebre de Banach des fonctions holomorphes bornees dans D. Le problème "de la couronne" corona problem a ete pose par Kakutani en 1941 et resolu par Carleson en 1962: tout ideal maximal de A est dans l'adherence du domaine D pour la topologie de Gelfand. On peut considerer un probleme analogue sur un corps ultrametrique complet algebriquement clos K, en notant D le disque unite "ouvert" et A la K-algebre de Banach des fonctions analytiques bornees dans D. La dificulte du probleme vient des ideaux maximaux de codimension innie: il n'y a pas de topologie de Gelfand qui ait un sens sur le spectre maximal. Mais on peut considerer le spectre des semi-normes multiplicatives continues muni de la topologie de la convergence simple et conjecturer que les semi-normes multiplicatives continues definies par un point de D est dense dans l'ensemble des semi-normes multiplicatives continues dont le noyau est un ideal maximal. C'est ce qui a ete demontre en 2007 quand K est spheriquement complet. Ici on generalise ce resultat a un corps ultrametrique complet algebriquement clos quelconque, comme par exemple Cp. Le moyen utilise consiste a montrer que chaque ideal maximal definit une seule semi-norme multiplicative continue et on emploie un outil;de calcul fonctionnel holomorphe ultrametrique, mais celui-ci etait bloque par le probleme de Lazard sur un corps non spheriquement complet.

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